[선형대수학] 선형대수학의 기초

이번 포스팅에서는 선형대수학을 공부하기 위한 기초 개념을 학습합니다.

핵심 키워드

• 스칼라(Scalar), 벡터(Vector), 행렬(Matrix)
• 열 벡터와 행 벡터 (Column Vector, Row Vector)
• 벡터와 행렬의 연산

I) 스칼라(Scalar), 벡터(Vector), 행렬(Matrix)

1. 스칼라(Scalar)
방향을 가지고 있지 않고 크기만 가지고 있는 물리량, 하나의 숫자

2. 벡터(Vector)
하나의 정렬된 숫자 리스트 ↔ 셋(Set): 정렬되지 않은 숫자 리스트

3. 행렬(Matrix)
2차원적 숫자의 배열
ex)
$ \Huge \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\\ \end{smallmatrix}\bigr) $
행렬의 크기: 3 X 2 (3개의 행과 2개의 열)
행 벡터: 수평의 벡터(a horizontal vector)
열 벡터: 수직의 벡터(avertical vector)

II) 열 벡터와 행 벡터 (Column Vector, Row Vector)

1. 열 벡터(Column Vector)
행렬의 크기가 n X 1인 n 차원의 벡터

$ \large _{}\textbf{x}= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n} = \mathbb{R}^{n\times 1} $

2. 행 벡터(Row Vector)
행렬의 크기가 1 X n인 벡터, 열 벡터의 전치행렬(Transpose)

$ \large _{}\textbf{x}^{\mathit{T}}= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}^{\textit{T}} = \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{1\times n} $

3. 행렬 표기

i) 정방 행렬(Square matrix)

크기가 n X n인 행렬
$ \large A \in \mathbb{R}^{n\times n} $
$ \large A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} $

ii) 직사각형 행렬(Rectangular matrix)
행렬의 행과 열의 크기가 다른 행렬

$ \large B \in \mathbb{R}^{m\times n} $
$ \large B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix} $

iii) 전치 행렬(Transpose matrix)
행과 열을 교환하여 얻는 행렬, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬

$ \large B^{\textit{T}} =\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 &4 & 6\\ \end{bmatrix} $

III) 벡터와 행렬의 연산

1. 행렬의 덧셈/ 뺄셈

행렬의 각 요소끼리 더하고 뺀다. C = A + B ( A, B, C 행렬은 모두 같은 크기여야 한다.)
$\large C_{ij}= A_{ij}+ B_{ij}$

$\large A, B, C \in \mathbb{R} ^{m \times n} $

2. 행렬/ 벡터의 스칼라 곱(상수배)

$ \large 2\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3& 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \\ \end{bmatrix} $

3. 행렬의 곱셈
행령 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 같을 때, A의 i행과 B의 j열에 대응하는 위치에 있는 성분을 차례로 곱하여 더한 것을 (i,j) 성분으로 하는 행렬을 A와 B의 곱이라 하고 AB로 나타낸다. A가 i X k 행렬이고 B가 k X j 행렬일 때, A, B 곱은 i X j 행렬이 된다.

$ \large C_{ij}= \sum _{k}A_{i,k}B_{k,j} $

$ \large \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 30 & 33 \\ 61 & 68 & 75 \\ 95 & 106 & 117 \\ \end{bmatrix} $